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아이가 사고력 수학 문제집을 펼쳐놓고 한숨을 쉴 때, 솔직히 저도 같이 한숨이 나옵니다. 설명하다 보면 어느 순간 제가 더 막혀서 "이건 이렇게 하는 거야"라고 말해놓고 정작 왜 그런지 설명 못 한 적이 한두 번이 아닙니다. 그러다 도서관에서 우연히 집어든 책 한 권이 그 막막함을 꽤 많이 해소해줬습니다. 수학을 잘하는 방법이 아니라, 수학적으로 생각하는 방법을 알려주는 책이었습니다.
논리적 사고와 창의적 사고, 뭐가 다른 걸까요
수학을 떠올리면 보통 "맞다, 틀리다"를 따지는 과목이라고 생각합니다. 그 생각이 완전히 틀린 건 아닌데, 수학에는 사실 두 가지 사고방식이 공존합니다. 하나는 논리적 사고(logical thinking), 다른 하나는 창의적 사고(creative thinking)입니다.
논리적 사고란 이미 옳다고 판정된 사실을 바탕으로 새로운 결론을 이끌어내는 과정을 말합니다. 쉽게 말해 "A이기 때문에 B다"라는 근거 있는 판단입니다. "우산 가져가"보다 "비 온대, 우산 가져가"가 훨씬 설득력 있는 이유가 바로 여기에 있습니다. 근거가 있는 말이 그렇지 않은 말보다 신뢰를 얻는 것, 이게 논리의 힘입니다.
창의적 사고는 반대 방향에서 출발합니다. 아직 없는 것을 상상하고, 아무도 시키지 않은 질문을 스스로 던지는 것입니다. 사각형 내각의 합이 360도라는 걸 배운 뒤, 누가 시키지도 않았는데 "그럼 오각형은?"이라고 혼자 묻기 시작하는 것이 창의적 사고입니다. 오각형은 삼각형 세 개로 나뉘니 180×3=540도, 육각형은 720도, 일반화하면 n각형은 180×(n-2)도라는 공식(formula)에 스스로 도달하는 것이죠.
제가 직접 이 두 가지를 구분해서 생각해보니, 평소 저는 논리적 사고는 어느 정도 쓰면서도 창의적 사고는 거의 쓰지 않고 있었습니다. 회사에서도, 아이를 가르칠 때도, 주어진 문제를 푸는 데 급급했지 "다른 질문을 만드는" 시도는 별로 안 했던 것 같습니다.
- 논리적 사고: 이미 있는 것에서 출발 → 근거를 갖고 결론을 냄
- 창의적 사고: 없는 것을 상상 → 아무도 시키지 않은 질문을 스스로 던짐
- 수학은 이 두 가지를 동시에 훈련시키는 거의 유일한 과목
한 단계 위에서 생각하면 보이는 것들
"한 단계 위에서 생각한다"는 메타인지(meta-cognition)와 연결되는 개념입니다. 메타인지란 자신의 사고 과정 자체를 바라보고 조절하는 능력을 말합니다. 나무 하나하나를 보는 게 아니라 숲 전체를 내려다보는 시각이라고 이해하면 됩니다.
수학에서 이 개념이 얼마나 강력한지를 보여주는 사례가 있습니다. 15도·75도·90도 직각삼각형에서 변의 길이를 구하는 문제인데, 처음엔 전혀 실마리가 보이지 않습니다. 그런데 75도를 60도와 15도로 쪼개는 보조선(auxiliary line) 하나를 그으면 순식간에 문제가 풀립니다. 보조선이란 원래 도형에 없던 선을 새로 그어 숨겨진 관계를 드러내는 기법입니다. 빈 공간에 선 하나를 그었을 뿐인데 30·60·90도 직각삼각형과 15·15도 이등변삼각형이 동시에 나타나면서 길이가 2+√3이라는 답이 나옵니다.
제가 이 풀이 과정을 아이들과 같이 따라가봤는데, "아 이렇게 선을 그어도 되는구나" 하면서 아이 눈이 반짝하는 순간이 있었습니다. 저도 솔직히 이건 예상 밖이었습니다. 문제를 직접 못 풀더라도, 풀이 과정에서 "이 선 하나가 왜 이렇게 중요하지?"라는 질문을 스스로 하기 시작했거든요.
일상생활에서도 비슷한 경험을 합니다. 캠핑을 가면 아이들이 "왜 불꽃은 항상 위로 올라가?", "왜 바위에는 이끼가 있어?"라고 묻습니다. 당연하다고 여겼던 것들이 한 발짝 떨어져서 보면 전혀 당연하지 않습니다. 그 순간이 바로 한 단계 위에서 사고가 시작되는 지점이라고 생각합니다. 프랑스 수학자 앙리 푸앵카레도 이런 말을 남겼습니다. "무언가를 증명할 때 우리는 논리를 쓴다. 하지만 무언가를 발견하는 것은 직관이다"라고요(출처: 위키백과, 앙리 푸앵카레). 직관이란 결국 충분한 관찰과 질문이 쌓인 뒤 생겨나는 것이고, 그 출발점이 "당연한 것에 물음표 던지기"입니다.
사고력 수학 스트레스, 이렇게 접근해봤습니다
요즘 초등 교육 현장에서 사고력 수학이 강조되면서 아이뿐 아니라 부모도 같이 지치는 경우가 많습니다. 교육부 및 한국교육과정평가원에 따르면 수학 교과에서 추론 능력과 문제해결력을 핵심 역량으로 명시하고 있는데(출처: 한국교육과정평가원), 정작 그 역량을 키우는 방법은 교과서에 잘 나오지 않습니다.
제가 경험한 방법은 단순합니다. 도서관에서 『수학, 생각의 기술』을 빌려 아이들과 하루 한 문제씩 같이 풀어보는 겁니다. 문제집과 다른 점은 정답을 맞히는 게 목적이 아니라는 것입니다. 아이들이 이렇게 생각해보고, 저렇게 생각해보고, 틀려도 다시 시도하는 과정을 반복하다 보면 어느 순간 스스로 풀어냅니다. 그리고 그게 기억에 훨씬 오래 남습니다.
페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)가 좋은 예입니다. 이 정리란 n이 3 이상인 정수일 때 aⁿ+bⁿ=cⁿ을 만족하는 양의 정수 a, b, c가 존재하지 않는다는 명제입니다. 페르마가 1637년에 이 명제를 책 여백에 적어두고 "증명은 생략한다"고 남긴 뒤, 무려 358년 뒤인 1995년 앤드루 와일즈가 증명해냈습니다. 그런데 세상은 지금도 이것을 "페르마의 정리"라고 부릅니다. 문제를 해결한 사람보다 문제를 발견한 사람을 더 기억한다는 뜻입니다. 저는 이 이야기를 아이들에게 해줬더니, 오히려 아이들이 "그럼 나도 새로운 질문을 만들면 되겠다"고 반응했습니다. 예상 밖의 반응이었습니다.
회사에서도 비슷합니다. 당연하다고 여기는 프로세스에 "이게 왜 이렇게 되어 있지?"라고 질문을 던질 때 오히려 더 나은 해결책이 나오는 경우가 있었습니다. 수학에서 배운 공리(axiom) — 쉽게 말해 증명 없이 참으로 받아들이는 출발점 — 를 의심하고 확인하는 태도가 실제 업무에서도 통한다는 걸 제 경험상 확인했습니다.
자주 묻는 질문
Q. 논리적 사고와 창의적 사고 중 어떤 게 더 중요한가요?
A. 어느 하나가 더 중요하다고 말하기 어렵습니다. 창의적 사고가 문제를 발견하고, 논리적 사고가 그 문제를 해결합니다. 페르마가 질문을 만들었고, 와일즈가 증명했지만 세상은 둘 다 기억합니다. 두 가지를 같이 훈련하는 것이 가장 현실적인 방향입니다.
Q. 사고력 수학, 초등학생 때부터 해야 하나요?
A. 제 경험상 시작 시점보다 방식이 더 중요합니다. 문제집을 풀게 하는 것보다, 하나의 문제를 두고 "왜 그렇지?"를 같이 따져보는 시간이 훨씬 효과적이었습니다. 그 습관이 자리 잡히면 학년이 올라가도 흔들리지 않는 사고의 기반이 됩니다.
Q. 『수학, 생각의 기술』은 어느 학년 아이에게 맞나요?
A. 저는 초등 중학년 아이들과 같이 읽었는데, 혼자 읽히기보다는 같이 읽으며 한 문제씩 토론하는 형태가 훨씬 잘 맞았습니다. 책 자체는 성인도 충분히 흥미롭게 읽을 수 있는 수준입니다. 부모가 먼저 읽고 인상적인 부분을 아이에게 말해주는 방법도 좋습니다.
Q. 수학을 싫어하는 아이한테도 효과가 있을까요?
A. 제가 직접 써봤는데, 수학을 싫어하는 이유가 "정답을 못 맞히는 두려움"인 경우가 많습니다. 이 책은 정답보다 과정을 중심에 두기 때문에, 틀려도 괜찮다는 분위기를 자연스럽게 만들어줍니다. 실제로 아이들이 문제집보다 덜 지루해하고 끝까지 붙잡고 있는 모습을 봤습니다.
결론
수학이 어려운 이유 중 하나는, 논리적 사고만 훈련하고 창의적 사고는 거의 연습하지 않기 때문이라고 생각합니다. 답을 맞히는 훈련은 많이 하는데, 질문을 만드는 훈련은 거의 없습니다. 제 경험으로는 하루 한 문제, 정답보다 과정을 함께 들여다보는 시간이 아이의 사고력에 가장 큰 영향을 줬습니다.
아이와 사고력 수학 때문에 지쳐있다면, 일단 문제집을 덮고 도서관에서 책 한 권을 빌려보시길 권합니다. 그리고 첫 문제 하나를 같이 틀려보는 것부터 시작해보면 어떨까 싶습니다. 틀리는 과정이 쌓이면, 어느 날 아이 스스로 보조선을 긋는 날이 옵니다.